Consider the sets . Let . ) Is bounded? open? closed? compact? ) Sketch . Is it open? closed? consider the set . ) Is bounded? open? closed? compact? Justify your answer. Sketch .

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория множеств и логика

Consider the sets . Let . ) Is bounded? open? closed? compact? ) Sketch . Is it open? closed? consider the set . ) Is bounded? open? closed? compact? Justify your answer. Sketch .

Условие:

Consider the sets $B_{n}=\left[\frac{1}{2 n}, \frac{2 n-1}{n}\right] \subset \mathbb{R}$ . Let $A=\bigcup_{n=1}^{4} B_{n}$ .\na) Is $A$ bounded? open? closed? compact?\nb) Sketch $A \times A$ . Is it open? closed? \nNow consider the set $C=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{n}$ .\nc) Is $C$ bounded? open? closed? compact? Justify your answer. Sketch $C$ .

Решение:

Определим промежутки Bₙ = [1/(2n), (2n – 1)/n].

Для n = 1, 2, 3, 4 получаем:
B₁ = [1/2, (2 – 1)/1] = [0.5, 1].
B₂ = [1/4, (4 – 1)/2] = [0.25, 1.5].
B₃ = [1/6, (6 – 1)/3] = [≈0.1667, ≈1.6667].
B₄ = [1/8, (8 – 1)/4] = [0.125, 1.75].

Заметим, что каждое следующее промежуток начинается ближе к 0, а заканчивается правее, и все они перекрываются. Таким образом, объединение A = B₁ ∪ B₂ ∪ B₃ ∪ B₄ будет иметь наименьшую левую границу в B₄ – 0.125, и наибольшую правую границу тоже в B₄ – 1.75.

Ответы для A:
а)
• A...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно множества $ C=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{n} $, где $ B_{n}=\left[\frac{1}{2 n}, \frac{2 n-1}{n}\right] \subset \mathbb{R} $?

Множество C является замкнутым.

Множество C является компактным.

Множество C является ограниченным.