Дан интеграл Замените корень в числителе на новую переменную . Представьте интеграл в виде , сократите подынтегральную функцию на общий множитель. При этом -- наибольшая степень в числителе, -- наибольшая степень в знаменателе (может быть не целая). В

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Интегральные уравнения

Дан интеграл Замените корень в числителе на новую переменную . Представьте интеграл в виде , сократите подынтегральную функцию на общий множитель. При этом -- наибольшая степень в числителе, -- наибольшая степень в знаменателе (может быть не целая). В

Условие:

Дан интеграл $\int_{14}^{15}\frac{\sqrt[7]{\sqrt[4]{x}+1}}{x\cdot\sqrt[14]{x}}dx$ Замените корень в числителе на новую переменную $t$ . Представьте интеграл в виде $\int_{\alpha}^{\beta} \frac{P_{n}(t)}{Q_{m}(t)} d t$ , сократите подынтегральную функцию на общий множитель. При этом $n$ -- наибольшая степень $t$ в числителе, $m$ -- наибольшая степень $t$ в знаменателе (может быть не целая). В ответе укажите вектор из новых пределов интегрирования $\alpha, \beta$ а также значения $n$ и $m$ (порядок следования важен).

Решение:

Мы начинаем с исходного интеграла

I = ∫₁₄¹⁵ [⁷√(⁴√x + 1)]⁄[x · ¹⁴√x] dx.

Чтобы заменить корень в числителе на новую переменную, положим

t = ⁷√(⁴√x + 1),
то есть
t⁷ = ⁴√x +
1.

Отсюда выразим ⁴√x:
⁴√x = t⁷ – 1
⇒
x = (t⁷ – 1)⁴.

Теперь найдём производную dx/dt. Дифференцируем x = (t⁷ – 1)⁴ по t:
dx/dt = 4·(t⁷ – 1)³ · d(t⁷ – 1)/dt = 4·(t⁷ – 1)³ · 7t⁶ = 28 t⁶ (t⁷ – 1)³.

Поскольку в исходном интеграле в знаменателе стоит x · ¹⁴√x, заметим, что
x · ¹⁴√x = x · x...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При замене переменной в интеграле $ \int_{14}^{15}\frac{\sqrt[7]{\sqrt[4]{x}+1}}{x\cdot\sqrt[14]{x}}dx $ на $ t = \sqrt[7]{\sqrt[4]{x}+1} $, как изменится дифференциал $ dx $?

Дифференциал $dx$ будет равен $28t^6(t^7-1)^3 dt$ .