1. Главная
  2. Библиотека
  3. Геометрия
  4. Дана последовательность , все члены которой различные ц...
Разбор задачи

Дана последовательность , все члены которой различные целые числа. Первый член последовательности . Все остальные члены последовательности -такие целые числа, что значения также целые при всех . Произвели выборку из нескольких членов последовательности,

  • Предмет: Геометрия
  • Автор: Кэмп
  • #Дискретная математика
  • #Теория чисел
Дана последовательность , все члены которой различные целые числа. Первый член последовательности . Все остальные члены последовательности -такие целые числа, что значения также целые при всех . Произвели выборку из нескольких членов последовательности,

Условие:

Дана последовательность an,n1a_{n}, n \geq 1, все члены которой различные целые числа. Первый член последовательности a1=15a_{1}=15. Все остальные члены последовательности an,n>1a_{n}, n>1-такие целые числа, что значения an1an\sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n}} также целые при всех n>1n>1. Произвели выборку из нескольких членов последовательности, сумма которых не превосходит 10000. Какое максимальное число членов последовательности могло попасть в такую выборку?

Решение:

Для решения данной задачи начнем с анализа условий, при которых значения an1an\sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n}} будут целыми числами. Это условие выполняется, если произведение an1ana_{n-1} \cdot a_{n} является полным квадратом.

Пусть an1=xa_{n-1} = x и an=ya_{n} = y. Тогда xy\sqrt{xy} будет целым, если xy=k2xy = k^2 для некоторого целого kk. Это означает, что xx и yy должны иметь одинаковые четность и должны быть взаимно простыми, чтобы их произведение было квадратом.

Мы можем начать с a1=15a_1 = 15. Поскольку 15 имеет разложение на простые множители 3×53 \times 5, мы...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство должно быть у произведения $a_{n-1} \cdot a_n$, чтобы $\sqrt{a_{n-1} \cdot a_n}$ было целым числом?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Выбери предмет