Дана прямая в каком-то базисе = (1, 0, 1)T + s(0, −1, 1)T, s ∈ R. Найти формулу задания этой прямой в базисе 1 = (0, −1, 1)T, e2 = (1, 0, 1)T, e3 = (1, 1, 1)T и матрицу перехода от старых координат к новым.

Добавлена: 11.04.2026
Обновлена: 11.04.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Дана прямая в каком-то базисе = (1, 0, 1)T + s(0, −1, 1)T, s ∈ R. Найти формулу задания этой прямой в базисе 1 = (0, −1, 1)T, e2 = (1, 0, 1)T, e3 = (1, 1, 1)T и матрицу перехода от старых координат к новым.

Условие:

Дана прямая в каком-то базисе\nr = (1, 0, 1)T + s(0, −1, 1)T, s ∈ R.
Найти формулу задания этой прямой в базисе\ne1 = (0, −1, 1)T, e2 = (1, 0, 1)T, e3 = (1, 1, 1)T
и матрицу перехода от старых координат к новым.

Решение:

1. Дано

Исходное уравнение прямой (в старых координатах, которые мы будем обозначать как $\mathbf{e}$ ):

\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + s \mathbf{v}

где:

Направляющий вектор $\mathbf{v} = (0, -1, 1)^T$ .
Начальная точка $\mathbf{r}_0 = (1, 0, 1)^T$ .
$s \in \mathbb{R}$ — параметр.

Новый базис $B' = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}$ :

$\mathbf{e}_1 = (0, -1, 1)^T$
$\mathbf{e}_2 = (1, 0, 1)^T$
$\mathbf{e}_3 = (1, 1, 1)^T$

2. Найти

Формулу задания прямой $\mathbf{r}'$ в новом базисе $B'$ .
Матрицу перехода $T$ от старых координат к новым....

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Как определяется матрица перехода от старых координат к новым, если известны векторы нового базиса в старых координатах?

Матрица перехода от старых координат к новым является обратной к матрице, составленной из векторов нового базиса, записанных как столбцы.

Матрица перехода от старых координат к новым является той же матрицей, что и матрица, составленная из векторов нового базиса, записанных как столбцы.

Матрица перехода от старых координат к новым является транспонированной к матрице, составленной из векторов нового базиса, записанных как столбцы.

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Прямая в пространстве может быть задана параметрическим уравнением $\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + s\mathbf{v}$ , где $\mathbf{r}_0$ — радиус-вектор точки, лежащей на прямой, $\mathbf{v}$ — направляющий вектор прямой, а $s$ — скалярный параметр.
Для перехода от координат вектора в одном базисе к координатам в другом базисе используется матрица перехода. Если $C$ — матрица, столбцами которой являются векторы нового базиса, выраженные через старый базис, то матрица перехода от старых координат к новым $T$ является обратной к $C$ , то есть $T = C^{-1}$ .
Чтобы найти матрицу, обратную к данной, необходимо вычислить её определитель и союзную матрицу (матрицу алгебраических дополнений, транспонированную). Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует, и векторы не образуют базис.
Координаты любой точки или вектора в новом базисе можно получить, умножив вектор её старых координат на матрицу перехода $T$ : $\mathbf{x}' = T\mathbf{x}$ .
После нахождения координат начальной точки $\mathbf{r}_0$ и направляющего вектора $\mathbf{v}$ в новом базисе (обозначим их $\mathbf{r}'_0$ и $\mathbf{v}'$ ), уравнение прямой в новом базисе будет иметь вид $\mathbf{r}' = \mathbf{r}'_0 + s\mathbf{v}'$ .