Даны вершины тетраэдра A, B, C, D. Найти: длину ребра AB; угол между ребрами AB и AD; угол между ребром AD и плоскостью ABC; объем тетраэдра ABCD; уравнение ребра AB; уравнение плоскости ABC; уравнение высоты, опущенной из точки D на плоскость ABC; длину

Дано:

Координаты вершин тетраэдра: $A(-4; 0; 2)$, $B(0; -1; 0)$, $C(3; 0; -2)$, $D(1; 4; -1)$.

1. Длина ребра $AB$

Находим вектор $\vec{AB} = (0 - (-4); -1 - 0; 0 - 2) = (4; -1; -2)$. Длина $|AB| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$.

2. Угол между ребрами $AB$ и $AD$

Вектор $\vec{AB} = (4; -1; -2)$, вектор $\vec{AD} = (1 - (-4); 4 - 0; -1 - 2) = (5; 4; -3)$. Косинус угла $\cos \varphi = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}|}$. Скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 4 \cdot 5 + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot (-3) = 20 - 4 + 6 = 22$...