Условие:
Доказать, что если в четырехугольнике суммы квадратов противолежащих сторон равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
Решение:
Мы докажем утверждение, используя разбиение четырёхугольника на четыре треугольника через точку пересечения диагоналей и закон косинусов. Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD с пересечением диагоналей в точке O. Обозначим:
OA = u, OB = s, OC = v, OD = t,
а угол между диагоналями (то есть угол AOB) обозначим через θ.
Заметим, что поскольку A, O, C коллинеарны, а B, O, D – тоже, то углы при точке O в смежных треугольниках связаны следующим образом. Применим закон косинусов к треугольникам, составляющим стороны четырёхугольника.
- Для стороны AB (треугольник AOB): AB² = u² + s² – 2·u·...