Докажите, что для любых четырёх точек пространства A,B,C и D справедливо равенство .

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Условие:

Докажите, что для любых четырёх точек пространства A,B,C и D справедливо равенство

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BD}=0

Решение:

а) Доказательство равенства

Рассмотрим четыре точки $A, B, C, D$ в пространстве. Обозначим векторы:

$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$
$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}$
$\overrightarrow{CA} = \vec{a} - \vec{c}$
$\overrightarrow{AD} = \vec{d} - \vec{a}$
$\overrightarrow{BD} = \vec{d} - \vec{b}$
$\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c}$

Теперь подставим эти векторы в равенство:

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}

Подставим...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство скалярного произведения векторов является ключевым для доказательства тождества $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BD}=0$?

Ассоциативность скалярного произведения.

Дистрибутивность скалярного произведения относительно сложения векторов.

Коммутативность скалярного произведения.