Докажите, что угол между высотами треугольника, проведенными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине треугольника (если этот угол остроугольный) или в сумме с ним составляет 180°.

Дано

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем высоты $AA_1$ к стороне $BC$ и $BB_1$ к стороне $AC$. Точка их пересечения — $H$ (ортоцентр). Обозначим углы треугольника при вершинах $A, B, C$ как $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно.

Найти

Нужно доказать, что угол между высотами $AA_1$ и $BB_1$ (обозначим его $\varphi$) равен $\gamma$ (если $\gamma < 90^\circ$) или $180^\circ - \gamma$ (если $\gamma > 90^\circ$).

Решение

1. Рассмотрим четырехугольник $A_1CB_1H$.
   • Так как $AA_1 \perp BC$, то $\angle HA_1C = 90^\circ$.
   • Так как $BB_1 \perp AC$, то $\angle HB_1C = 90^\circ$.
   • Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Следовательно, в четырехугольнике $A_1CB_1H$...