Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если АОВ ∠ =120 ° и МО=22.

Для решения задачи начнем с анализа данных: 1. У нас есть точка \( M \) и окружность с центром \( O \). 2. Проведены касательные \( MA \) и \( MB \) к окружности в точках касания \( A \) и \( B \). 3. Угол \( ...

Поскольку \( MA \) и \( MB \) являются касательными, то они равны: \[ MA = MB \] В треугольнике \( AOB \) угол \( \angle AOB = 120^\circ \). Мы можем использовать закон косинусов для нахождения длины отрезка \( AB \). Согласно закону косинусов: \[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) \] Поскольку \( OA = OB = r \) (радиус окружности), мы можем обозначить радиус как \( r \). Тогда: \[ AB^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(120^\circ) \] Значение \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), подставим это значение: \[ AB^2 = 2r^2 - 2r^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ AB^2 = 2r^2 + r^2 = 3r^2 \] \[ AB = \sqrt{3}r \] Теперь нам нужно найти радиус \( r \). Мы знаем, что \( MO = 22 \), и можем использовать теорему Пифагора в треугольнике \( MOA \): \[ MA^2 = MO^2 - OA^2 \] \[ MA^2 = 22^2 - r^2 \] Так как \( MA = MB \), мы можем выразить \( MA \) через \( r \): \[ MA^2 = 22^2 - r^2 \] Теперь мы знаем, что \( MA^2 = \frac{1}{3} AB^2 \): \[ 22^2 - r^2 = \frac{1}{3} (3r^2) \] \[ 22^2 - r^2 = r^2 \] \[ 22^2 = 2r^2 \] \[ r^2 = \frac{22^2}{2} = \frac{484}{2} = 242 \] \[ r = \sqrt{242} \approx 15.556 \] Теперь подставим значение радиуса \( r \) обратно в формулу для \( AB \): \[ AB = \sqrt{3}r = \sqrt{3} \cdot \sqrt{242} = \sqrt{726} \approx 26.925 \] Расстояние между точками касания \( A \) и \( B \) составляет примерно \( 26.93 \) единиц.