Катер движется по течению реки в течение времени мин. Известно, что скорость катера в стоячей воде составляет , а скорость течения реки . Рассчитайте, какое расстояние пройдёт катер. Рассчитайте абсолютную погрешность расстояния, которое пройдёт катер,

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Численные методы

Катер движется по течению реки в течение времени мин. Известно, что скорость катера в стоячей воде составляет , а скорость течения реки . Рассчитайте, какое расстояние пройдёт катер. Рассчитайте абсолютную погрешность расстояния, которое пройдёт катер,

Условие:

Катер движется по течению реки в течение времени $t=57$ мин. Известно, что скорость катера в стоячей воде составляет $v=15 \ \mathrm{\text{км/ч}}$ , а скорость течения реки $u=5 \ \mathrm{\text{км/ч}}$ .

Рассчитайте, какое расстояние $s$ пройдёт катер.
Рассчитайте абсолютную погрешность $\Delta s$ расстояния, которое пройдёт катер, если считать, что время движения известно с абсолютной погрешностью 1 мин, скорость течения реки имеет абсолютную погрешность $1 \ \mathrm{\text{км/ч}}$ , скорость катера в стоячей воде известна точно. Кратко поясните вычисления.
Можно ли с учётом погрешностей величин утверждать, что катер преодолеет расстояние в 18 км? Свой ответ обоснуйте.

Решение:

Шаг 1: Рассчитаем расстояние $s$ , которое пройдет катер.

Сначала найдем скорость катера относительно берега. Скорость катера по течению реки вычисляется по формуле:

v_{\text{итог}} = v + u

где:

$v = 15 \, \text{км/ч}$ — скорость катера в стоячей воде,
$u = 5 \, \text{км/ч}$ — скорость течения реки.

Подставим значения:

v_{\text{итог}} = 15 + 5 = 20 \, \text{км/ч}

Теперь переведем время $t$ из минут в часы:

t = 57 \, \text{мин} = \frac{57}{60} \, \text{ч} = 0.95 \, \text{ч}

Теперь можем найти расстояние $s$ :

s = v_{\text{итог}} \cdot t = 20 \, \text{км/ч} \cdot 0.95 \, \text{ч} = 19 \, \text{км}

Ответ на пункт 1:

Расстояние, которое пройдет катер, составляет $s = 19 \, \text{км}$ .

Шаг 2: Рассчитаем абсолютную погрешность $\Delta s$ .

Для нахождения погрешности расстояния $s$ используем формулу для погрешности произведения:

\Delta s = s \cdot \left( \frac{\Delta v}{v} + \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta t}{t} \right)

где:

$\Delta v = 0$ (скорость катера в стоячей воде известна точно),
$\Delta u = 1 \, \text{км/ч}$ (погрешность скорости течения),
$\Delta t = \frac{1}{60} \, \text{ч}$ (погрешность времени),
$v = 15 \, \text{км/ч}$ ,
$u = 5 \, \text{км/ч}$ ,
$t = 0.95 \, \text{ч}$ .

Теперь найдем относительные погрешности:

Для скорости течения:
$\frac{\Delta u}{u} = \frac{1}{5} = 0.2$
Для времени:
$\frac{\Delta t}{t} = \frac{1/60}{0.95} \approx 0.0175$

Теперь подставим все значения в формулу для погрешности:

\Delta s = 19 \cdot (0 + 0.2 + 0.0175) = 19 \cdot 0.2175 \approx 4.13 \, \text{км}

Ответ на пункт 2:

Абсолютная погрешность $\Delta s$ составляет примерно $4.13 \, \text{км}$ .

Шаг 3: Можно ли утверждать, что катер преодолеет расстояние в 18 км?

Теперь определим диапазон возможных значений расстояния, учитывая погрешность:

s_{\text{min}} = s - \Delta s = 19 - 4.13 \approx 14.87 \, \text{км}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какая формула используется для расчёта абсолютной погрешности расстояния, если известны абсолютные погрешности скорости течения и времени, а скорость катера в стоячей воде известна точно?

$\Delta s = \Delta v \cdot t + v \cdot \Delta t$