Клетки на шахматной доске площадью 2025 красят в красный цвет так, чтобы в каждом квадрате 3*3 была хотя бы одна красная клетка. Какое наименьшее количество клеток надо закрасить в красный цвет?

Определение размеров доски: Площадь шахматной доски составляет 2025 клеток. Поскольку шахматная доска квадратная, то ее размеры будут $\sqrt{2025} = 45$. Таким образом, у нас есть доска размером 45x45 клеток.

Количество квадратов 3x3: Теперь определим, сколько квадратов 3x3 помещается на доске 45x45. Каждый квадрат 3x3 может начинаться в клетках от (1,1) до (43,43) (включительно), так как последний квадрат 3x3 будет начинаться в клетке (43,43) и занимать клетки до (45,45). Это дает нам:

Оптимальная раскраска: Чтобы минимизировать количество закрашенных клеток, мы можем использовать стратегию, при которой мы будем закрашивать клетки так, чтобы каждая закрашенная клетка покрывала как можно больше квадратов 3x3.

Выбор клеток для закрашивания: Если мы закрасим клетки, расположенные по диагонали через каждые 3 клетки, это позволит нам покрыть максимальное количество квадратов 3x3. Например, закрашивая клетки (1,1), (1,4), (1,7), ..., (1,43), (4,1), (4,4), (4,7), ..., (4,43) и так далее, мы можем добиться того, что каждая клетка 3x3 будет иметь хотя бы одну закрашенную клетку.

Подсчет закрашенных клеток: Мы можем закрасить клетки на пересечении строк и столбцов, которые кратны 3. Это будет выглядеть так:

• В каждой строке мы закрашиваем 15 клеток (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43).
• Всего у нас 15 закрашенных клеток в каждой из 15 строк (так как 45/3 = 15).

Общее количество закрашенных клеток: Таким образом, общее количество закрашенных клеток будет: