На координатной плоскости построен треугольник АВС такой, что А(-3; 0); В(0; 6); С(5; 0). Из точки В проведена высота ВН. АО – медиана треугольника АВН. Прямая АО пересекает сторону ВС в точке М. А) Найдите координаты точки М. Б) Найдите длину отрезка ОМ.

Для решения задачи начнем с нахождения необходимых координат и длин.

Шаг 1: Найдем координаты точки H (основание высоты из точки B на сторону AC).

Сначала найдем уравнение прямой AC. Для этого найдем наклон (угловой коэффициент) прямой AC:

Координаты точек A и C:
- A(-3; 0)
- C(5; 0)

Наклон (угловой коэффициент) прямой AC:
\[
k{AC} = \frac{yC - yA}{...C - x_A} = \frac{0 - 0}{5 - (-3)} = 0 \] Прямая AC горизонтальна и проходит через y = 0. Теперь найдем уравнение прямой BH, которая перпендикулярна AC и проходит через точку B(0; 6). Поскольку AC горизонтальна, прямая BH будет вертикальной, и ее уравнение: \[ x = 0 \] Теперь найдем точку H, которая будет пересекаться с AC. Поскольку AC проходит по оси x, то H будет иметь координаты (0; 0). Координаты точки A(-3; 0) и H(0; 0). Найдем координаты точки O: \[ OA + x_H}{2} = \frac{-3 + 0}{2} = -1.5 \] \[ OA + y_H}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0 \] Таким образом, O(-1.5; 0). Теперь найдем уравнение прямой AO. Для этого найдем наклон (угловой коэффициент): \[ kO - yO - x_A} = \frac{0 - 0}{-1.5 - (-3)} = \frac{0}{1.5} = 0 \] Прямая AO также горизонтальна и проходит через y = 0. Теперь найдем уравнение прямой BC. Для этого найдем наклон (угловой коэффициент): Координаты точек B и C: - B(0; 6) - C(5; 0) Наклон (угловой коэффициент) прямой BC: \[ kC - yC - x_B} = \frac{0 - 6}{5 - 0} = -\frac{6}{5} \] Уравнение прямой BC: \[ y - y{BC}(x - x_B) \implies y - 6 = -\frac{6}{5}(x - 0) \implies y = -\frac{6}{5}x + 6 \] Теперь найдем точку M, где прямая AO (y = 0) пересекает прямую BC: \[ 0 = -\frac{6}{5}x + 6 \implies \frac{6}{5}x = 6 \implies x = 5 \] Таким образом, координаты точки M(5; 0). Координаты точки O(-1.5; 0) и M(5; 0). Найдем длину отрезка OM: \[ OM = |xO| = |5 - (-1.5)| = |5 + 1.5| = 6.5 \] Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot |x2 - y2(y1) + x1 - y_2)| \] Координаты: - B(0; 6) - O(-1.5; 0) - M(5; 0) \[ S_{BOM} = \frac{1}{2} \cdot |0(0 - 0) + (-1.5)(0 - 6) + 5(6 - 0)| = \frac{1}{2} \cdot |0 + 9 + 30| = \frac{1}{2} \cdot 39 = 19.5 \] Координаты: - A(-3; 0) - O(-1.5; 0) - H(0; 0) \[ S_{AOH} = \frac{1}{2} \cdot |-3(0 - 0) + (-1.5)(0 - 0) + 0(0 - 0)| = 0 \] А) Координаты точки M: (5; 0) Б) Длина отрезка OM: 6.5 В) Отношение площадей треугольника ВОМ к треугольнику АОН: \( \frac{19.5}{0} \) (площадь треугольника AOH равна 0, поэтому отношение не определено).