На плоскости заданы круг с центром в точке и радиусом 2 и прямоугольник с вершинами . Через центр координат проходит прямая . Определить все значения параметра , при которых круг и прямоугольник расположены по разные стороны от прямой .

1. Дано

1. Круг ($\mathcal{C}$):

   • Центр $M = (4, 4)$.
   • Радиус $R = 2$. Уравнение круга: $(x-4)^2 + (y-4)^2 = 2^2 = 4$.

2. Прямоугольник ($\mathcal{P}$):

   • Вершины: $A(-10, -5)$, $B(-10, -1)$, $C(-5, -1)$, $D(-5, -5)$.

3. Прямая ($L$):

   • Проходит через начало координат $(0, 0)$.
   • Уравнение: $y = kx$, или $kx - y = 0$.

2. Найти

Найти все значения параметра $k$, при которых круг и прямоугольник расположены по разные стороны от прямой $L$.

3. Решение

Условие, что две фигуры лежат по разные стороны от прямой, означает, что центр круга и все вершины прямоугольника должны лежать по разные стороны от этой прямой.

Общее уравнение прямой в форме $Ax + By + C = 0$ (в нашем случае $kx - y = 0$). Для любой точки $(x_0, y_0)$, подстановка её координат в выражение $F(x, y) = kx - y$ даст число. Знак этого числа определяет, по какую сторону от прямой лежит точка. *...