На сторонах параллелограмма взяты соответственно точки такие, что . Докажите, что четырёхугольник - параллелограмм и его центр совпадает с центром параллелограмма . Докажите, что при пересечении прямых и образуется параллелограмм, причём его центр

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Проективная геометрия
#Геометрические преобразования

На сторонах параллелограмма взяты соответственно точки такие, что . Докажите, что четырёхугольник - параллелограмм и его центр совпадает с центром параллелограмма . Докажите, что при пересечении прямых и образуется параллелограмм, причём его центр

Условие:

На сторонах $A B, B C, C D, D A$ параллелограмма $A B C D$ взяты соответственно точки $P, Q, R, S$ такие, что $A P: P B=B Q: Q C=C R: R D=D S: S A$ . Докажите, что четырёхугольник $P Q R S$ - параллелограмм и его центр совпадает с центром параллелограмма $A B C D$ . Докажите, что при пересечении прямых $A Q, B R, C S$ и $D P$ образуется параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма $A B C D$ .

Решение:

Ниже приведено подробное пошаговое решение обеих частей задачи. Для наглядности введём общий параметр λ, такой что отношения деления равны
AP : PB = BQ : QC = CR : RD = DS : SA = λ
(λ может быть любым положительным числом). При этом будем рассматривать параллелограмм ABCD с вершинами A, B, C, D и его центром O – точкой пересечения диагоналей, при этом верно, что
O = (A + C)/2 = (B + D)/2.

Заметим, что в решении удобно записывать координаты точек в векторной форме (или в виде комбинаций вершин), а затем использовать соотношение A + C = B + D.
<b...