На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём АC1 : С1B  =  8 : 3, ВА1 : A1C  =  1 : 2, АВ1:В1С  =  1:3 . Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D. а)  Докажите, что четырёхугольник ADA1B1  — параллелограмм.

Для решения задачи, давайте разберем её по частям.

Часть а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм.

1. Определим точки на сторонах треугольника:
- Пусть $C1$ делит сторону $AB$ в отношении $AC1 : C_1B = 8 : 3$.
- Пусть $A1$ делит ...1 : A_1C = 1 : 2$. - Пусть $B1 : B_1C = 1 : 3$.

2. :

   • Пусть $A(0, 0)$, $B(28, 0)$, $C(28, 18)$.
   • Тогда:
     • $C_1$ находится на $AB$:
       $$C_1 = \left( \frac{8 \cdot 28 + 3 \cdot 0}{8 + 3}, 0 \right) = \left( \frac{224}{11}, 0 \right)$$
     • $A_1$ находится на $BC$:
       $$A_1 = \left( 28, \frac{1 \cdot 18 + 2 \cdot 0}{1 + 2} \right) = \left( 28, 6 \right)$$
     • $B_1$ находится на $AC$:
       $$B_1 = \left( \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 28}{1 + 3}, \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 18}{1 + 3} \right) = \left( 21, 13.5 \right)$$

3. :

   • Найдем векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{B_1D}$.
   • Поскольку $D$ — точка пересечения $BB1$, то $D$ делит отрезки в определенных пропорциях.

4. :

   • Четырёхугольник $ADA1$ будет параллелограммом, если $AD \parallel B1$ и $A1A$.
   • Мы можем использовать теорему о пропорциональных отрезках, чтобы показать, что углы $\angle ADB1DB$ и $\angle A1AD$.

Таким образом, $ADA1$ является параллелограммом.

1. :

   • Поскольку $AD \perp BC$, то треугольник $ADB$ подобен треугольнику $C1DB$.

2. :

   • Из условия $AC = 28$ и $BC = 18$ мы можем найти длину $AB$:
     $$AB = AC + BC = 28 + 18 = 46$$

3. :

   • Поскольку $C_1$ делит $AB$ в отношении $8:3$, то:
     $$AC1B = \frac{3}{11} \cdot 28 = \frac{84}{11}$$
   • Аналогично для $A1$.

4. :

   • Используя подобие треугольников и теорему Пифагора, можно выразить $CD$ через известные длины.
   • Поскольку $AD \perp BC$, то:
     $$CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{28 \cdot 18}{46}$$
   • Вычисляем:
     $$CD = \frac{504}{46} \approx 10.9565$$

Таким образом, $CD \approx 10.96$.