Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а, противолежащим основанию;

Чтобы найти площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник с боковой стороной \( a \) и углом \(...

Для начала найдем высоту \( h \) равнобедренного треугольника. Высота опускается из вершины, противолежащей основанию, и делит основание пополам. Обозначим основание треугольника как \( b \). Согласно тригонометрии, высота \( h \) равнобедренного треугольника может быть найдена по формуле: \[ h = a \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \] Для нахождения основания \( b \) используем косинус: \[ b = 2 \cdot a \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \] Площадь \( S \) равнобедренного треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \] Подставим значения для \( b \) и \( h \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot a \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)) \cdot (a \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)) \] Упрощаем: \[ S = a^2 \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \] Используем формулу \( \sin(x) \cdot \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \): \[ S = \frac{1}{2} a^2 \cdot \sin(\alpha) \] Радиус \( r \) вписанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по формуле: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( p \) — полупериметр треугольника. Полупериметр \( p \) равен: \[ p = \frac{a + a + b}{2} = a + \frac{b}{2} = a + a \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = a(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)) \] Теперь подставим \( S \) в формулу для радиуса: \[ r = \frac{\frac{1}{2} a^2 \cdot \sin(\alpha)}{a(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right))} \] Упрощаем: \[ r = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right))} \] Площадь круга \( S_{circle} \) с радиусом \( r \) равна: \[ S_{circle} = \pi r^2 \] Подставим значение \( r \): \[ S_{circle} = \pi \left(\frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right))}\right)^2 \] Упрощаем: \[ S_{circle} = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot \sin^2(\alpha)}{4(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right))^2} \] Таким образом, площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник с боковой стороной \( a \) и углом \( \alpha \), противолежащим основанию, равна: \[ S_{circle} = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot \sin^2(\alpha)}{4(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right))^2} \]