Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а, противолежащим основанию;

Чтобы найти площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом \(...

Для начала найдем высоту $h$ равнобедренного треугольника. Высота опускается из вершины, противолежащей основанию, и делит основание пополам. Обозначим основание треугольника как $b$.

Согласно тригонометрии, высота $h$ равнобедренного треугольника может быть найдена по формуле:

$$h = a \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$

Для нахождения основания $b$ используем косинус:

$$b = 2 \cdot a \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$

Площадь $S$ равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$$

Подставим значения для $b$ и $h$:

$$S = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot a \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)) \cdot (a \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right))$$

Упрощаем:

$$S = a^2 \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$

Используем формулу $\sin(x) \cdot \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$:

$$S = \frac{1}{2} a^2 \cdot \sin(\alpha)$$

Радиус $r$ вписанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

$$r = \frac{S}{p}$$

где $p$ — полупериметр треугольника. Полупериметр $p$ равен:

$$p = \frac{a + a + b}{2} = a + \frac{b}{2} = a + a \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = a(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right))$$

Теперь подставим $S$ в формулу для радиуса:

$$r = \frac{\frac{1}{2} a^2 \cdot \sin(\alpha)}{a(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right))}$$

Упрощаем:

$$r = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right))}$$

Площадь круга $S_{circle}$ с радиусом $r$ равна:

$$S_{circle} = \pi r^2$$

Подставим значение $r$:

$$S_{circle} = \pi \left(\frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right))}\right)^2$$

Упрощаем:

$$S_{circle} = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot \sin^2(\alpha)}{4(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right))^2}$$

Таким образом, площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$, противолежащим основанию, равна:

$$S_{circle} = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot \sin^2(\alpha)}{4(1 + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right))^2}$$