Найдите поверхность и объем шара описанного около правильной четырехугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований 14 дм и 2 дм, а боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°

Для нахождения поверхности и объема шара, описанного около правильной четырехугольной усеченной пирамиды, нам нужно сначала определить радиус этого ша...

У нас есть усеченная пирамида с большими и малыми основаниями, где стороны оснований равны 14 дм и 2 дм соответственно. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°. 1. - Обозначим высоту усеченной пирамиды как \( h \). - Поскольку боковое ребро наклонено под углом 45°, то высота \( h \) будет равна длине бокового ребра, если мы проведем перпендикуляр из вершины пирамиды к основанию. 2. - Радиус \( R \) шара, описанного около усеченной пирамиды, можно найти по формуле: \[ R = \frac{h}{\cos(\alpha)} \] где \( \alpha \) — угол наклона бокового ребра к основанию. В нашем случае \( \alpha = 45^\circ \), следовательно, \( \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \). - Таким образом, радиус будет равен: \[ R = h \cdot \sqrt{2} \] 3. - Для нахождения высоты \( h \) нам нужно знать, как соотносятся размеры оснований и высота. - Поскольку основание является квадратом, его диагональ можно найти по формуле: \[ d = a \sqrt{2} \] где \( a \) — сторона квадрата. Для большего основания: \[ d_1 = 14 \sqrt{2} \] Для меньшего основания: \[ d_2 = 2 \sqrt{2} \] - Высота усеченной пирамиды можно найти, используя теорему Пифагора, учитывая, что расстояние между центрами оснований будет равно разности половин диагоналей: \[ \text{Расстояние} = \frac{d2}{2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \] - Теперь, используя теорему Пифагора: \[ h^2 + (6\sqrt{2})^2 = (h/\cos(45^\circ))^2 \] \[ h^2 + 72 = 2h^2 \] \[ h^2 = 72 \implies h = 6\sqrt{2} \] 4. \[ R = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12 \] 5. \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (12)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 1728 = 2304 \pi \, \text{дм}^3 \] 6. \[ S = 4 \pi R^2 = 4 \pi (12)^2 = 4 \pi \cdot 144 = 576 \pi \, \text{дм}^2 \] - Объем шара: \( 2304 \pi \, \text{дм}^3 \) - Площадь поверхности шара: \( 576 \pi \, \text{дм}^2 \)