1. Главная
  2. Библиотека
  3. Геометрия
  4. Найдите угол между векторами a и b, если площадь паралл...
Разбор задачи

Найдите угол между векторами a и b, если площадь параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и , равна 12, а длина векторов a и b равна 1.

  • Предмет: Геометрия
  • Автор: Кэмп
  • #Аналитическая геометрия
  • #Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Найдите угол между векторами a и b, если площадь параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и , равна 12, а длина векторов a и b равна 1.

Условие:

Найдите угол между векторами a и b, если площадь параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах (2a-b) и (4a+4b), равна 12, а длина векторов a и b равна 1.

Решение:

Для решения задачи начнем с определения площади параллелограмма, построенного на векторах u\mathbf{u} и v\mathbf{v}. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов:

S=∣u×v∣ S = |\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

В данном случае вектора u=2a−b\mathbf{u} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} и v=4a+4b\mathbf{v} = 4\mathbf{a} + 4\mathbf{b}.

  1. Вычислим векторное произведение u\mathbf{u} и v\mathbf{v}:
u×v=(2a−b)×(4a+4b) \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (2\mathbf{a} - \mathbf{b}) \times (4\mathbf{a} + 4\mathbf{b})

Используем дистрибутивность векторного произведения:

u×v=2a×4a+2a×4b−b×4a−b×4b \mathbf{u} \times \mathbf{v} = 2\mathbf{a} \times 4\mathbf{a} + 2\mathbf{a} \times 4\mathbf{b} - \mathbf{b} \times 4\mathbf{a} - \mathbf{b} \times 4\mathbf{b}

Так как векторное произведение любого вектора с самим собой равно нулю, то:

a×a=0иb×b=0 \mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0} \quad \text{и} \quad \mathbf{b} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство векторного произведения используется для упрощения выражения $(2\mathbf{a} - \mathbf{b}) \times (4\mathbf{a} + 4\mathbf{b})$?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я