Найдите все целые числа , являющиеся сторонами невырожденного треугольника, для которых выполняются равенства . Если таких треугольников несколько, укажите числа, соответствующие треугольнику с наибольшим периметром.

Добавлена: 02.05.2026
Обновлена: 02.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Теория чисел
#Геометрические преобразования

Найдите все целые числа , являющиеся сторонами невырожденного треугольника, для которых выполняются равенства . Если таких треугольников несколько, укажите числа, соответствующие треугольнику с наибольшим периметром.

Условие:

Найдите все целые числа $a, b, c$ , являющиеся сторонами невырожденного треугольника, для которых выполняются равенства $a^{2}-b c=b^{2}-a c=4$ . Если таких треугольников несколько, укажите числа, соответствующие треугольнику с наибольшим периметром.

Решение:

Шаг 1. Запишем исходные равенства:
a² – b·c = 4,
b² – a·c =
4.

Шаг 2. Вычтем второе равенство из первого:
(a² – b·c) – (b² – a·c) = 0 ⟹ a² – b² – b·c + a·c =
0.

Шаг 3. Вынесем общий множитель в первой и второй парах слагаемых:
(a – b)(a + b) + c(a – b) = 0 ⟹ (a – b)(a + b + c) =
0.

Шаг 4. Из равенства (a – b)(a + b + c) = 0 получаем два случая. Поскольку a, b, c – длины сторон треугольника (и, следовательно, положите...