Nel: 2019. aasta eksam, lai kursus Nelinurga.ABCD ktlgAD=6 cm, ktlg CD= 10 cm ning kuljed ABja BC on võrdsed. Selle nelinurga sisenurk BCD on 30° ja sisenurk ADC on 240° Arvutage nelinurga ABCD külg AB ja pindala. Lõppvastused ümardage kümnendikeni.

Для решения задачи о четырехугольнике ABCD, где известны длины сторон и углы, мы будем использовать тригонометрию и формулы для вычисле...

Дано: - \( AD = 6 \) см - \( CD = 10 \) см - Углы: - \( \angle BCD = 30^\circ \) - \( \angle ADC = 240^\circ \) Сначала найдем длину стороны \( AB \). Поскольку стороны \( AB \) и \( BC \) равны, обозначим их как \( x \). В треугольнике \( BCD \) можем использовать закон косинусов для нахождения стороны \( BD \): \[ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD) \] Подставим известные значения: \[ BD^2 = x^2 + 10^2 - 2 \cdot x \cdot 10 \cdot \cos(30^\circ) \] Значение \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ BD^2 = x^2 + 100 - 10x\sqrt{3} \] Теперь применим закон косинусов в треугольнике \( ADC \): \[ AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC) \] Значение \( \cos(240^\circ) = -\frac{1}{2} \): \[ AC^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] Подставим значения: \[ AC^2 = 36 + 100 + 60 = 196 \] Следовательно, \( AC = \sqrt{196} = 14 \) см. Теперь у нас есть два выражения для \( BD \): 1. \( BD^2 = x^2 + 100 - 10x\sqrt{3} \) 2. \( BD^2 = AC^2 = 14^2 = 196 \) Приравняем их: \[ x^2 + 100 - 10x\sqrt{3} = 196 \] Перепишем уравнение: \[ x^2 - 10x\sqrt{3} + 100 - 196 = 0 \] \[ x^2 - 10x\sqrt{3} - 96 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-10\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 300 + 384 = 684 \] Теперь найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10\sqrt{3} \pm \sqrt{684}}{2} \] Вычислим \( \sqrt{684} \): \[ \sqrt{684} \approx 26.14 \] Теперь подставим: \[ x = \frac{10\sqrt{3} \pm 26.14}{2} \] Приблизительно: \[ \sqrt{3} \approx 1.732 \Rightarrow 10\sqrt{3} \approx 17.32 \] Теперь подставим: \[ x \approx \frac{17.32 \pm 26.14}{2} \] 1. \( x_1 \approx \frac{43.46}{2} \approx 21.73 \) 2. \( x_2 \approx \frac{-8.82}{2} \) (отрицательное значение не подходит) Таким образом, \( AB \approx 21.73 \) см. Теперь найдем площадь четырехугольника ABCD. Площадь можно найти через два треугольника \( ABC \) и \( ADC \). Площадь треугольника \( ABC \): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) \] Площадь треугольника \( ADC \): \[ S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin(\angle ADC) \] Сначала найдем угол \( ABC \): \[ \angle ABC = 180^\circ - \angle BCD - \angle ADC = 180^\circ - 30^\circ - 240^\circ = -90^\circ \] Это невозможно, значит, мы должны использовать другой метод для нахождения площади. Площадь четырехугольника можно найти по формуле Брахмагупты: \[ S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \] где \( s = \frac{a+b+c+d}{2} \). Подставим: \[ s = \frac{AB + BC + CD + AD}{2} = \frac{21.73 + 21.73 + 10 + 6}{2} \approx 34.73 \] Теперь подставим в формулу: \[ S = \sqrt{(34.73 - 21.73)(34.73 - 21.73)(34.73 - 10)(34.73 - 6)} \] \[ S = \sqrt{(13)(13)(24.73)(28.73)} \approx \sqrt{(169)(24.73)(28.73)} \] Теперь вычислим: \[ S \approx 169 \cdot 24.73 \cdot 28.73 \approx 169 \cdot 711.43 \approx 120,000 \] Таким образом, длина стороны \( AB \) составляет примерно \( 21.7 \) см, а площадь четырехугольника ABCD составляет примерно \( 1200 \) см².