Окружность ω касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L. Отрезок AK пересекает ω второй раз в точке M. Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно. Докажите, что

24 октября 2025
Геометрия

Условие:

Окружность ω касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L. Отрезок AK пересекает ω второй раз в точке M. Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается окружности ω.

Решение:

Для доказательства задачи начнем с того, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Окружность ω касается сторон AB и AC, а также пересекает сторону BC в точках K и L. 1. Поскольку окружность ω касается сторон AB и AC, это означает, что отрезки, проведенные из точки A к точкам касания, перпендикулярны этим сторонам. Обозначим точки касания окружности ω с AB и AC как D и E соответственно. Тогда AD перпендикулярно AB, а AE перпендикулярно AC. 2. Отрезок AK пересекает окружность ω во второй точке ...