Окружность радиуса 30 касается гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов. Высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 12. Найдите наибольший из катетов этого треугольника.

Давайте решим задачу шаг за шагом. 1. **Обозначим элементы треугольника**: Пусть \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника, а \( c \) — гипотенуза. Высота \( h \), опущенная на гипотенузу, равна 12. 2. **Используем формулу для площади треугольника**: Площадь \( S \) треугольника можно выразить через катеты: \[ S = \frac{1}{2}ab \] Также площадь можно выразить через гипотенузу и высоту: \[ S = \frac{1}{2}ch \] Подставим \( h = 12 \): \[ S = \frac{1}{2}c \cdot 12 = 6c \] 3. **Приравняем площади**: Теперь приравняем два выражения для площа...