119. Основание пирамиды — треугольник со сторонами, равными 6, 10 и 14 см. Плоскости боковых граней наклонены к основанию под углом 60°. Вычислите полную поверхность пирамиды

Для решения задачи о вычислении полной поверхности пирамиды, основание которой является треугольником со сторонами 6, 10 ...

Сначала найдем площадь треугольника с заданными сторонами. Для этого используем формулу Герона.

1. Вычислим полупериметр $p$:

   $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 10 + 14}{2} = 15 \text{ см}$$

2. Теперь найдем площадь $S$ по формуле Герона:

   $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
   Подставим значения:
   $$S = \sqrt{15(15-6)(15-10)(15-14)} = \sqrt{15 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{15 \cdot 45} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Теперь найдем высоту боковых граней. Поскольку боковые грани наклонены под углом 60° к основанию, можем использовать тригонометрию.

1. Высота боковой грани $h$ связана с наклоном:

   $$h = l \cdot \sin(60°)$$
   где $l$ — это длина боковой грани. Для нахождения $l$ воспользуемся формулой для высоты треугольника, проведенной из вершины к основанию.

2. Для треугольника с основанием 14 см и высотой, проведенной из вершины, используем формулу:

   $$h_{основания} = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 15\sqrt{3}}{14} = \frac{30\sqrt{3}}{14} = \frac{15\sqrt{3}}{7} \text{ см}$$

3. Теперь найдем длину боковой грани. Для этого используем теорему Пифагора. Высота $h$ будет равна:

   $$h = \frac{15\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{1}{\sin(60°)} = \frac{15\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{7} \text{ см}$$

Теперь найдем площадь боковых граней. Поскольку у нас три боковые грани, каждая из которых является трапецией, мы можем использовать формулу для площади треугольника.

1. Площадь одной боковой грани:

   $$S_{боковой} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot \frac{30}{7} = 30 \text{ см}^2$$

2. Площадь всех боковых граней:

   $$S{боковой} = 3 \cdot 30 = 90 \text{ см}^2$$

Теперь можем найти полную поверхность пирамиды:

$$S{основания} + S_{боковые} = 15\sqrt{3} + 90$$

Полная поверхность пирамиды равна $15\sqrt{3} + 90$ см².