Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами 4см и 4v3 см и углом равным 30°. Диагональ BD1 образует с плоскостью основания в 60 . Найти площадь полной поверхности призмы.

Чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, нам нужно сначала рассчи...

Основание призмы — это параллелограмм со сторонами 4 см и \(4\sqrt{3}\) см и углом 30° между ними. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \] где \(a\) и \(b\) — длины сторон, а \(\alpha\) — угол между ними. Подставим значения: - \(a = 4\) см - \(b = 4\sqrt{3}\) см - \(\alpha = 30^\circ\) Сначала найдем \(\sin(30^\circ)\): \[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \] Теперь подставим в формулу: \[ S = 4 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Диагональ \(BD_1\) образует угол 60° с плоскостью основания. Чтобы найти высоту призмы, используем тригонометрию. Высота \(h\) будет равна: \[ h = d \cdot \sin(60^\circ) \] где \(d\) — длина диагонали основания. Длина диагонали \(d\) параллелограмма может быть найдена по формуле: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos(\alpha)} \] Подставим значения: \[ d = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)} \] Сначала найдем \(\cos(30^\circ)\): \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Теперь подставим: \[ d = \sqrt{16 + 48 + 32\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{16 + 48 + 48} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} \] Теперь найдем высоту: \[ h = 4\sqrt{7} \cdot \sin(60^\circ) = 4\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{21} \] Площадь боковых граней призмы равна периметру основания, умноженному на высоту. Периметр \(P\) параллелограмма: \[ P = 2(a + b) = 2(4 + 4\sqrt{3}) = 8 + 8\sqrt{3} \] Теперь найдем площадь боковых граней: \[ S_{бок} = P \cdot h = (8 + 8\sqrt{3}) \cdot 2\sqrt{21} = 16\sqrt{21} + 16\sqrt{63} \] Полная площадь поверхности \(S_{пол}\) равна сумме площади основания и площади боковых граней: \[ S{бок} = 2(8\sqrt{3}) + (16\sqrt{21} + 16\sqrt{63}) = 16\sqrt{3} + 16\sqrt{21} + 16\sqrt{63} \] Площадь полной поверхности призмы равна: \[ S_{пол} = 16\sqrt{3} + 16\sqrt{21} + 16\sqrt{63} \text{ см}^2 \]