Параллелограмм построен на векторах и . Вычислить длины диагоналей этого параллелограмма; угол между диагоналями и площадь параллелограмма. .

Добавлена: 14.04.2026
Обновлена: 14.04.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Параллелограмм построен на векторах и . Вычислить длины диагоналей этого параллелограмма; угол между диагоналями и площадь параллелограмма. .

Условие:

Параллелограмм построен на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Вычислить длины диагоналей этого параллелограмма; угол между диагоналями и площадь параллелограмма. $\vec{a}=3 \vec{p}+\vec{q} ; \vec{b}=\vec{p}-3 \vec{q} ;|\vec{p}|=7 ;|\vec{q}|=2 ;\left(\vec{p}^{\wedge} \vec{q}\right)=\pi / 4$ .

Решение:

Дано

Векторы:
- $\vec{a} = 3\vec{p} + \vec{q}$
- $\vec{b} = \vec{p} - 3\vec{q}$
Длины векторов:
- $|\vec{p}| = 7$
- $|\vec{q}| = 2$
Угол между векторами:
- $\left(\vec{p} \wedge \vec{q}\right) = \frac{\pi}{4}$

Найти

Длину диагоналей параллелограмма.
Угол между диагоналями.
Площадь параллелограмма.

Решение

Шаг 1: Найдем длины диагоналей параллелограмма.

Диагонали параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , можно найти по формуле:

\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}

\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Как выражаются диагонали параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$?

$\vec{d_1} = \vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{d_2} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{d_1} = 2\vec{a}$ и $\vec{d_2} = 2\vec{b}$

$\vec{d_1} = \vec{a} \times \vec{b}$ и $\vec{d_2} = \vec{a} \cdot \vec{b}$

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Диагонали параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , выражаются как $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$ .
Длина вектора $\vec{v} = x\vec{p} + y\vec{q}$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2|\vec{p}|^2 + y^2|\vec{q}|^2 + 2xy|\vec{p}||\vec{q}|\cos(\vec{p}^\wedge\vec{q})}$ .
Скалярное произведение двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равно $|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$ , где $\theta$ — угол между векторами. Также, если $\vec{u} = x_1\vec{p} + y_1\vec{q}$ и $\vec{v} = x_2\vec{p} + y_2\vec{q}$ , то $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2|\vec{p}|^2 + (x_1y_2+x_2y_1)|\vec{p}||\vec{q}|\cos(\vec{p}^\wedge\vec{q}) + y_1y_2|\vec{q}|^2$ .
Угол между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ можно найти из формулы $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ .
Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , равна модулю векторного произведения этих векторов: $S = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin(\vec{a}^\wedge\vec{b})$ . Если векторы заданы через другие векторы, например, $\vec{a} = x_1\vec{p} + y_1\vec{q}$ и $\vec{b} = x_2\vec{p} + y_2\vec{q}$ , то площадь также можно найти как $S = |x_1y_2 - x_2y_1| |\vec{p}||\vec{q}|\sin(\vec{p}^\wedge\vec{q})$ .