Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро 7 см. Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды

Для решения задачи о правильной треугольной пирамиде, где сторона основания равна 12 см, а боковое ребро равно 7 см, мы будем использовать геометрические свойства пирамиды.

Ш...

1. . Основание пирамиды является правильным треугольником со стороной 12 см. Высота правильного треугольника может быть найдена по формуле:

   $$h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$$
   где $a$ — сторона треугольника. Подставим значение:
   $$h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3} \text{ см}$$

2. . Центр правильного треугольника находится на расстоянии:

   $$r = \frac{a \sqrt{3}}{3}$$
   Подставим значение:
   $$r = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$

3. . Обозначим высоту пирамиды как $h$. Мы имеем прямоугольный треугольник, где:

   • одна катета — это высота пирамиды $h$,
   • второй катет — это расстояние от центра основания до вершины треугольника $r = 4\sqrt{3}$,
   • гипотенуза — это боковое ребро $7$ см.

   По теореме Пифагора:

   $$h^2 + (4\sqrt{3})^2 = 7^2$$
   Подставим значения:
   $$h^2 + 48 = 49$$
   $$h^2 = 49 - 48 = 1$$
   $$h = \sqrt{1} = 1 \text{ см}$$

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из трех равнобедренных треугольников. Площадь одного бокового треугольника можно найти по формуле:

$$S{бок}$$

где $h_{бок}$ — высота бокового треугольника.

1. . Для этого используем теорему Пифагора в боковом треугольнике:

   • одна катета — это высота бокового треугольника $h_{бок}$,
   • второй катет — это половина стороны основания $\frac{a}{2} = 6$ см,
   • гипотенуза — это боковое ребро $7$ см.

   По теореме Пифагора:

   $$h_{бок}^2 + 6^2 = 7^2$$
   Подставим значения:
   $$h_{бок}^2 + 36 = 49$$
   $$h_{бок}^2 = 49 - 36 = 13$$
   $$h_{бок} = \sqrt{13} \text{ см}$$

2. :

   $$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{13} = 6\sqrt{13} \text{ см}^2$$

3. :

   $$S{бок} = 3 \cdot 6\sqrt{13} = 18\sqrt{13} \text{ см}^2$$

1. Высота пирамиды: $h = 1$ см.

2. Площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок. пов.} = 18\sqrt{13}$ см².