Условие:
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 1 см, а стороны - 2 см. Найдите объем этой пирамиды
Решение:
Чтобы найти объем правильной шестиугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу для объема п...
Основание нашей пирамиды — правильный шестиугольник со стороной \( a = 1 \) см. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле: \[ S_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Подставим значение стороны: \[ S_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (1)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \] Для нахождения высоты \( h \) пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора. Высота пирамиды, основание и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике: - одна сторона — это высота \( h \), - другая сторона — это расстояние от центра основания до середины одной из сторон основания (обозначим его как \( r \)), - гипотенуза — это боковая сторона пирамиды \( l = 2 \) см. Сначала найдем \( r \). Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности (расстояние от центра до вершины) равен: \[ R = a \] а радиус вписанной окружности (расстояние от центра до середины стороны) равен: \[ r = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] Подставим значение стороны: \[ r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см} \] Теперь применим теорему Пифагора: \[ l^2 = h^2 + r^2 \] Подставим известные значения: \[ 2^2 = h^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \] Это дает: \[ 4 = h^2 + \frac{3}{4} \] Теперь выразим \( h^2 \): \[ h^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16}{4} - \frac{3}{4} = \frac{13}{4} \] Теперь найдем \( h \): \[ h = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} \text{ см} \] Теперь подставим найденные значения \( S_b \) и \( h \) в формулу для объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h \] Подставим: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} \] Упростим: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{39}}{4} = \frac{\sqrt{39}}{4} \text{ см}^3 \] Объем правильной шестиугольной пирамиды равен \( \frac{\sqrt{39}}{4} \) см³.