Точка - центр правильного многоугольника . Доказать, что и для любой точки О справедливо равенство:

Добавлена: 02.05.2026
Обновлена: 02.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Геометрические преобразования

Точка - центр правильного многоугольника . Доказать, что и для любой точки О справедливо равенство:

Условие:

Точка $M$ - центр правильного многоугольника $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$ . Доказать, что $\overrightarrow{M A}_{1}+\overrightarrow{M A}_{2}+\ldots+\overrightarrow{M A}_{n}=\overrightarrow{0}$ и для любой точки О справедливо равенство:

\overrightarrow{O M}=\frac{1}{n}\left(\overrightarrow{O A}_{1}+\overrightarrow{O A}_{2}+\ldots+\overrightarrow{O A}_{n}\right)

Решение:

Докажем, что векторная сумма MA₁ + MA₂ + … + MAₙ равна нулевому вектору.
Шаг 1. Заметим, что правильный многоугольник обладает центральной симметрией – все вершины равномерно расположены вокруг точки M.
Шаг 2. Пусть φ = 360°/n – угол поворота, соответствующий повороту на один сектор. Если выполнить поворот всех векторов MA₁, MA₂, …, MAₙ на угол φ относительно точки M, то вершина Aᵢ переходит в вершину Aᵢ₊₁ (при i = n получаем Aₙ₊₁ = A₁).
Шаг 3. Обозначим сумму векторов как S = MA₁ + MA₂ + …...