Требуется найти на параболе все точки, находящиеся на расстоянии от точки . Сколько решений может иметь задача в зависимости от величины и координат точки ? Перечислить все варианты, ответ обосновать.

Для решения задачи найдем все точки на параболе $y = x^2$, которые находятся на расстоянии $l$ от заданной точки $M_0(x_0, y_0)$.

1. Запишем условие расстояния: Расстояние между точкой $M_0(x_0, y_0)$ и точкой на параболе $P(x, y)$ равно $l$. Поскольку $y = x^2$, мы можем записать:

   $$\sqrt{(x - x_0)^2 + (x^2 - y_0)^2} = l$$

2. Возведем в квадрат: Убираем корень, возводя обе стороны в квадрат:

   $$(x - x_0)^2 + (x^2 - y_0)^2 = l^2$$

3. Раскроем скобки: Раскроем скобки в уравнении:

   $$(x - x_0)^2 = x^2 - 2x_0x + x_0^2$$
   $$(x^2 - y_0)^2 = x^4 - 2y_0x^2 + y_0^2$$
   ...