У квадратного уравнения коэффициенты и увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.

Добавлена: 03.05.2026
Обновлена: 03.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Теория чисел
#Математическая логика

У квадратного уравнения коэффициенты и увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.

Условие:

У квадратного уравнения $x^{2}+p x+q=0$ коэффициенты $p$ и $q$ увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.

Решение:

Рассмотрим уравнение x² + p·x + q = 0, пусть его корни – целые числа a и b. Тогда по формулам Виета имеем p = –(a + b) и q = a·b. После каждого увеличения коэффициентов на 1 получаем уравнения

x² + (p + k)x + (q + k) = 0, k = 0, 1, 2, 3,
4.

Наша цель – подобрать такие целые a и b, чтобы для всех значений k от 0 до 4 у соответствующего уравнения были целые корни.

Попробуем взять симметричный вариант, например a = –1 и b = 1. Тогда исходное уравнение имеет коэффиц...