В окружность радиуса вписан треугольник . Его медиана равна 18 и образует со стороной угол, синус которого равен . Найти площадь треугольника .

1. Известные данные:

• Радиус окружности $R = 3\sqrt{30}$.
• Треугольник $ABC$ вписан в эту окружность.
• $BM$ — медиана, $M$ — середина $AC$.
• $BM = 18$.
• Угол между $BM$ и $AC$ обозначим $\varphi$, $\sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

2. Вспомогательные обозначения:

Пусть $AC = b$, $AB = c$, $BC = a$ (стандартно: сторона $a$ против $A$, $b$ против $B$, $c$ против $C$).

Медиана $BM$ идёт из вершины $B$ к стороне $AC$, значит, $M$ — середина $AC$.

Формула медианы:

3. Угол между медианой $BM$ и стороной $AC$:

Это угол $\varphi = \angle (BM, AC)$. Можно рассмотреть треугольник $ABM$ или $CBM$.

В треугольнике $ABM$:
$AM = \frac{b}{2}$, $BM = 18$, $AB = c$, угол $\angle AMB$ или $\angle ABM$ неизвестны напрямую, но угол $\varphi$ — это $\angle MBC$ или $\angle CBM$? Нет, $\varphi$ — угол между векторами $BM$ и $AC$, т.е. в треугольнике $CBM$ сторона $BC = a$, $CM = b/2$, $BM = 18$, и угол между $BM$ и $AC$ — это угол при $M$ между $BM$ и $MC$ (но $M \in AC$, так что $BM$ и $AC$ образуют угол $\varphi$ в точке $M$, значит, в треугольнике $CBM$ угол $\angle BMC = \pi - \varphi$ или $\angle CBM = \varphi$? Проверим: $AC$ — прямая, $BM$ пересекает её в $M$, угол между $BM$ и $AC$ — это угол между отрезками $BM$ и $MC$ (или $AM$), но $MC$ — часть $AC$, так что $\angle (BM, AC) = \angle BMC$ или $\angle BMA$?

Лучше: $\angle (BM, AC)$ — минимальный угол между направлениями $BM$ и $AC$. В треугольнике $BMC$ стороны: $BM, MC, BC$. Угол между $BM$ и $AC$ — это угол $\angle CBM$ (в точке $B$ между $BC$ и $BM$)? Нет, это не так: $AC$ не проходит через $B$, так что нельзя брать угол при $B$ между $BM$ и $AC$, потому что $AC$ не содержит $B$. Значит, угол берётся в точке пересечения $BM$ и $AC$, т.е. в точке $M$. Тогда это угол между $BM$ и $MC$ или $BM$ и $MA$. То есть $\varphi = \angle BMC$ или $\angle BMA$?

Но $\angle BMC$ и $\angle BMA$ смежные, их сумма 180°, синусы равны. Так что $\sin\varphi = \sin\angle BMC = \sin\angle BMA$.

Пусть $\varphi = \angle BMA$. Тогда в треугольнике $ABM$: $AM = b/2$, $BM = 18$, $AB = c$, угол $\angle BMA = \varphi$, $\sin\varphi = \sqrt{2}/3$.

4. Применим теорему синусов в треугольнике $ABM$: