В прямой треугольной призме стороны основания 13, 14, 15. Высота призмы равна средней высоте основания. Найти площадь поверхности и объем призмы.

Чтобы найти площадь поверхности и объем прямой треугольной призмы, сначала нужно рассчитать площадь основания и высоту...

Основание призмы — это треугольник со сторонами 13, 14 и 15. Мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника.

1. :

   $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$$

2. :

   $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
   Подставим значения:
   $$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$$

   Сначала вычислим произведение:

   $$21 \cdot 8 = 168$$
   $$168 \cdot 7 = 1176$$
   $$1176 \cdot 6 = 7056$$

   Теперь найдем корень:

   $$S = \sqrt{7056} = 84$$

Таким образом, площадь основания $S = 84$.

Высота призмы равна средней высоте основания. Для нахождения средней высоты треугольника используем формулу:

$$h = \frac{2S}{a}$$

где $S$ — площадь треугольника, а $a$ — основание треугольника. Мы можем взять любое из оснований, например, 15.

Подставим значения:

$$h = \frac{2 \cdot 84}{15} = \frac{168}{15} = 11.2$$

Объем прямой призмы вычисляется по формуле:

$$V = S \cdot h$$

где $S$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Подставим значения:

$$V = 84 \cdot 11.2 = 940.8$$

Площадь поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:

$$A = 2S + P \cdot h$$

где $P$ — периметр основания.

1. :

   $$P = a + b + c = 13 + 14 + 15 = 42$$

2. :

   $$A = 2 \cdot 84 + 42 \cdot 11.2$$
   $$A = 168 + 470.4 = 638.4$$

Таким образом, площадь поверхности призмы составляет $638.4$, а объем призмы равен $940.8$.