В прямоугольнике ABCD через вершину B перпендикулярно диагонали AC проведена прямая, которая пересекает AC в точке M и AD в точке N (см. рисунок). Известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABM и AMN, равны 6 и 4, соответственно. Найти

1. Анализ подобия треугольников

Пусть $\angle CAD = \alpha$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD \parallel BC$, следовательно, $\angle BCA = \angle CAD = \alpha$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle AMN$:

• $\triangle ABM$ — прямоугольный ($\angle AMB = 90^\circ$).
• $\triangle AMN$ — прямоугольный ($\angle AMN = 90^\circ$).
• У них общий угол $\angle MAN$.

Однако, так как $BN \perp AC$, треугольники $\triangle ABM$, $\triangle AMN$ и $\triangle BCN$ связаны через углы. Заметим, что $\triangle ABM \sim \triangle AMN \sim \triangle BCM$. Действительно:

• В $\triangle ABM$...