В равнобедренном треугольнике проведена средняя линия, параллельная стороне . Площади кругов, описанных около трапеции и треугольника , относятся как , а расстояние между центрами этих кругов равно 3 . Найти радиус окружности, вписанной в треугольник .

1. Дано

1. Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$.
2. $MN$ — средняя линия, параллельная $AC$. Так как $MN$ — средняя линия, $M$ лежит на $AB$, $N$ лежит на $BC$, и $MN = \frac{1}{2} AC$.
3. $AMNC$ — трапеция.
4. Отношение площадей кругов, описанных около трапеции $AMNC$ и треугольника $ABC$, равно $S_{AMNC} : S_{ABC} = 43 : 100$.
5. Расстояние между центрами описанных окружностей равно $d = 3$.

2. Найти

Радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, обозначим как $r$.

3. Решение

Шаг 1: Определение подобия и соотношений длин

Поскольку $MN$ — средняя линия,...