В треугольнике на стороне взята произвольная точка, из нее опущены перпендикуляры на стороны и . Чему равны наименьшее и наибольшее значения суммы этих перпендикуляров, если известно, что ?

Мы докажем, что если в треугольнике ABC с AB > BC взять точку D на стороне AC, и из неё опустить перпендикуляры к сторонам AB и BC, то сумма этих двух перпендикуляров равна

  S = d(D, AB) + d(D, BC) = sin(∠ABC)·(AB + t·(BC – AB)),

где t – параметр, изменяющийся от 0 до 1, то есть при t = 0 точка D совпадает с A, а при t = 1 – с C. Поскольку BC – AB < 0 (так как AB > BC), функция S линейно убывает от A к C. Следовательно, максимум достигается, когда D = A, а минимум – когда D = C.

Ниже приведём пошаговое решение.

──────────────────...