Задача 1. B треугольнике ABC выполнено ( mathrm{AB}=mathrm{AC}=10 mathrm{~cm} ), а угол при вершине B равен ( 30^{circ} ). Из точки А опущена высота AH, а точки M и N - середины сторон AC и АВ соответственно. На отрезке АН построен равносторонний

Давайте поэтапно решим задачу.

1. Найдите оставшиеся углы треугольника ABC.

В треугольнике ABC, где AB = AC = 10 см и угол B = 30°, мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180°
\]
Поскольку AB = AC, то углы A и C равны:
\[
\angle A = \angle C
\]
Обозначим угол A как x:
\[
x + 30° + x = 180°
\]
\[
2x + 30° = 180°
\]
\[
2x = 150°
\]
\[
x = 75°
\]
Таким образом, углы треугольника ABC:
\[
\angle A = 75°, \quad \angle C = 75°, \quad \angle B = 30°
\]

2. Найдите угол ВАН.

Угол ВАН равен углу A, который мы нашли в предыдущем пункте:
\[
\angle ВАН = 75°
\]

3. Найдите длину основания BC.

Используем формулу для нахождения длины стороны в треугольнике через угол и две стороны:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(B)
\]
Подставим значения:
\[
BC^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(30°)
\]
\[
BC^2 = 100 + 100 - 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
BC^2 = 200 - 100\sqrt{3}
\]
\[
BC = \sqrt{200 - 100\sqrt{3}}
\]

4. Найдите длину высоты АН...

Высота AH может быть найдена через сторону AC и угол B: \[ AH = AC \cdot \sin(B) = 10 \cdot \sin(30°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ см} \] Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(B) \] Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 25 \text{ см}^2 \] Отрезок MN — это отрезок, соединяющий середины сторон AC и AB. Длина MN равна половине длины BC: \[ MN = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{200 - 100\sqrt{3}} \] Площадь треугольника АНК равна: \[ S_{АНК} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AK \cdot \sin(60°) \] Где AK = AH (в равностороннем треугольнике): \[ S_{АНК} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \] Синус угла ВАН: \[ \sin(ВАН) = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \] Используя теорему Пифагора: \[ AB^2 = AH^2 + HB^2 \] \[ 10^2 = 5^2 + HB^2 \] \[ 100 = 25 + HB^2 \Rightarrow HB^2 = 75 \Rightarrow HB = 5\sqrt{3} \] Теперь, используя cos B: \[ HD = HB \cdot \cos(30°) = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{2} \] Площадь треугольника ADH: \[ S_{ADH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AD \] Где AD = HD. Подставим значения: \[ S_{ADH} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{15}{2} = \frac{75}{4} \text{ см}^2 \] Радиус описанной окружности R для треугольника: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где a, b, c — стороны треугольника, S — площадь. Для треугольника ABH: - a = AB = 10 см - b = AH = 5 см - c = HB = 5√3 см - S = 25 см² (площадь треугольника ABC) Подставим значения: \[ R = \frac{10 \cdot 5 \cdot 5\sqrt{3}}{4 \cdot 25} = \frac{250\sqrt{3}}{100} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \text{ см} \] Таким образом, мы нашли все необходимые значения.