В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9. а)  докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам б)  пусть Р  — точка пересечения

Для решения задачи будем использовать свойства биссектрисы и некоторые геометрические теоремы.

Часть а)

1. Опреде...: - Пусть \( AM \) — биссектрисa угла \( A \). - Пусть \( BN \) — прямая, проходящая через \( B \) и перпендикулярная к \( AM \). - \( N \) — точка пересечения прямой \( BN \) со стороной \( AC \). 2. : - Биссектрисa угла делит противолежащую сторону в отношении длин смежных сторон. То есть: \[ \frac{MC}{MB} = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \] Обозначим \( MB = 2k \) и \( MC = 3k \). Тогда: \[ MB + MC = AC \implies 2k + 3k = 9 \implies 5k = 9 \implies k = \frac{9}{5} \] Таким образом, \( MB = 2k = \frac{18}{5} \) и \( MC = 3k = \frac{27}{5} \). 3. : - В треугольнике \( ABC \) проведем биссектрису \( AM \) и перпендикуляр \( BN \). - Поскольку \( BN \) перпендикулярен к \( AM \), то угол \( ABN \) равен углу \( AMB \). 4. : - Угол \( C \) делится биссектрисой \( CM \) на два равных угла. Таким образом, угол \( CMN \) равен углу \( AMN \). 5. : - Поскольку \( BN \) перпендикулярен к \( AM \), то \( \angle AMN = 90^\circ \). - Угол \( CMN \) также равен \( 90^\circ \) (так как \( CM \) — биссектрисa). - Таким образом, \( MN \) делится пополам биссектрисой \( CM \). 1. : - Пусть \( P \) — точка пересечения биссектрис \( AM \) и \( CN \). 2. : - По свойству биссектрисы, отношение отрезков, на которые она делит сторону, равно отношению длин смежных сторон: \[ \frac{AP}{PC} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{5} \] 3. : - Пусть \( AP = 6x \) и \( PC = 5x \). Тогда: \[ AC = AP + PC = 6x + 5x = 11x \] Мы знаем, что \( AC = 9 \), следовательно: \[ 11x = 9 \implies x = \frac{9}{11} \] 4. : - \( AP = 6x = 6 \cdot \frac{9}{11} = \frac{54}{11} \) - \( PC = 5x = 5 \cdot \frac{9}{11} = \frac{45}{11} \) 5. : - Поскольку \( R \) — это точка, где биссектрисы пересекаются, то: \[ AR : RN = AP : PC = 6 : 5 \] Таким образом, ответ на часть б) будет: \[ AR : RN = 6 : 5 \]