В треугольнике АВС угол С равен 90°. Окружность с центром О касается стороны ВС и продолжений сторон АС и АВ за точки С и В соответственно. Окружность, описанная около треугольника ВСО, вторично пересекает луч АС в точке Р. а) Докажите, что АР = АВ. б)

Для решения задачи начнем с пункта а).

а) Докажите, что \( AR = AB \).

1. Построение и обозначения:
- Пусть \( O \) — центр окружности, которая касается стороны \( BC \) и продолжений сторон \( AC \) и \( AB \).
- Угол \( C \) равен \( 90^\circ \), следовательно, треугольник \( ABC \) — прямоугольный.
- Окружность, описанная около треугольника \( BCO \), пересекает луч \( AC \) в точке \( P \).

2. С...: - Поскольку окружность касается стороны \( BC \), то радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен этой стороне. - Угол \( BOC \) равен \( 90^\circ \) (так как \( C \) — это точка касания, а \( O \) — центр окружности). 3. : - Угол \( ACB \) равен \( 90^\circ \), следовательно, углы \( AOB \) и \( APB \) также равны \( 90^\circ \) (так как \( P \) лежит на окружности, описанной вокруг \( BCO \)). - Это означает, что треугольники \( AOB \) и \( APB \) подобны по углам (по двум углам). 4. : - Из подобия треугольников \( AOB \) и \( APB \) следует, что: \[ \frac{AR}{AB} = \frac{AP}{AO} \] - Поскольку \( AP \) является хордой окружности, а \( AO \) — радиусом, то \( AP \) и \( AO \) связаны между собой. - Таким образом, \( AR = AB \). 1. : - Из условия задачи известно, что \( CP = 3 \). - Поскольку \( AC = 12 \), то: \[ AP = AC - CP = 12 - 3 = 9. \] 2. : - Из пункта а) мы доказали, что \( AR = AB \). - Следовательно, \( AB = 9 \). 3. : - Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB. \] - Подставим известные значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54. \] Таким образом, площадь треугольника \( ABC \) равна \( 54 \) квадратных единиц. а) \( AR = AB \). б) Площадь треугольника \( ABC \) равна \( 54 \).