В треугольную пирамиду со сторонами основания 20 см, 12 см и 16 см вписан шар. Найти его радиус, если двугранные углы при основании пирамиды равны по 60°.

Находим площадь основания треугольной пирамиды. Основание — это треугольник со сторонами 20 см, 12 см и 16 см. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона.

Сначала найдем полупериметр треугольника: p = (20 + 12 + 16) / 2 = 24 см.

Теперь применим формулу Герона для вычисления площади: S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где a = 20 см, b = 12 см, c = 16 см.

Подставляем значения: S = √(24 * (24 - 20) * (24 - 12) * (24 - 16)) = √(24 * 4 * 12 * 8) = √(9216) = 96 см².

Находим высоту пирамиды. Двугранные углы при основании равны 60°. Это означает, что высота пирамиды h и радиус вписанного шара r связаны с углом 60°.

Воспользуемся тем, что в треугольной пирамиде радиус вписанного шара можно выразить через площадь основания и высоту: r = (3 *...