В векторном пространстве рассмотрим функцию Существует ли такой базис , что квадратичная форма в координатах в этом базисе имеет вид Если такой базис существует, то предъявите его.

Добавлена: 09.05.2026
Обновлена: 09.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

В векторном пространстве рассмотрим функцию Существует ли такой базис , что квадратичная форма в координатах в этом базисе имеет вид Если такой базис существует, то предъявите его.

Условие:

В векторном пространстве $V=\mathbb{R}[x]_{\leqslant 3}$ рассмотрим функцию

Q(f)=\int_{-3}^{-1} f^2 d x-\int_{-2}^0 f^2 d x

Существует ли такой базис

\mathbb{e}=\left(e_1, \ldots, e_4\right)

, что квадратичная форма

Q

в координатах

\mathbf{x}=\left(x_1, \ldots, x_4\right)

в этом базисе имеет вид

20 x_1^2+24 x_1 x_2+44 x_1 x_3+128 x_1 x_4+13 x_2^2+20 x_2 x_3+82 x_2 x_4+32 x_3^2+26 x_3 x_4+29 x_4^2 ?

Если такой базис существует, то предъявите его.

Решение:

Определение пространства: Векторное пространство $V = \mathbb{R}[x]_{\leqslant 3}$ состоит из многочленов степени не выше 3. Базисом этого пространства может быть $\{1, x, x^2, x^3\}$ .
Квадратичная форма: Квадратичная форма $Q(f)$ определяется как разность двух интегралов:
$Q(f) = \int_{-3}^{-1} f^2 \, dx - \int_{-2}^{0} f^2 \, dx.$
Для многочлена $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3$ мы можем вычислить $Q(f)$ .
Вычисление интегралов:
- Сначала вычислим $\int_{-3}^{-1} f^2 \, dx$ :
  $f^2(x) = (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3)^2.$
  Это выражение будет содержать члены от $x^0$ до $x^6$ . Интегрируя по частям, мы получим коэффициенты для каждого члена.
- Затем вычислим $\int_{-2}^{0} f^2 \, dx$ аналогично.
Сравнение с заданной формой: После вычисления обоих интегралов, мы получим выражение для $Q(f)$ в виде квадратичной формы. Нам нужно будет сопоставить полученные коэффициенты с заданной формой:
$20 x_1^2 + 24 x_1 x_2 + 44 x_1 x_3 + 128 x_1 x_4 + 13 x_2^2 + 20 x_2 x_3 + 82 x_2 x_4 + 32 x_3^2 + 26 x_3 x_4 + 29 x_4^2.$
...