Вова задумал многочлен с целыми коэффициентами. Оказалось, что . Какое наименьшее значение может принимать его свободный член с, если ?

Добавлена: 30.04.2026
Обновлена: 30.04.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Теория чисел
#Алгебраическая геометрия

Вова задумал многочлен с целыми коэффициентами. Оказалось, что . Какое наименьшее значение может принимать его свободный член с, если ?

Условие:

Вова задумал многочлен $Q(x)$ с целыми коэффициентами. Оказалось, что $Q(11)=Q(25)=450$ . Какое наименьшее значение может принимать его свободный член с, если $\lceil c\rceil \leqslant 150$ ?

Решение:

Рассмотрим полином Q(x) с целыми коэффициентами, для которого выполнены условия

Q(11) = 450 и Q(25) = 450.

Шаг 1. Перейдём к полиному P(x), который определяется как

P(x) = Q(x) – 450.

Тогда для x = 11 и x = 25 имеем

P(11) = Q(11) – 450 = 0 и P(25) = Q(25) – 450 =
0.

Следовательно, x = 11 и x = 25 являются корнями P(x), и, так как коэффициенты целые, многочлен P(x) делится на (x – 11)(x – 25). Запишем

P(x) = (x – 11)(x – 25) · R(x),

где R(x) – многочлен с целыми коэффициентам...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

В задаче рассматривается многочлен Q(x) с целыми коэффициентами. Какое свойство многочлена P(x) = Q(x) - 450 позволяет утверждать, что P(x) делится на (x - 11)(x - 25)?

P(x) имеет целые коэффициенты.

Значения P(11) и P(25) равны нулю, что означает, что 11 и 25 являются корнями P(x).

Свободный член Q(x) связан с P(0).