Задан цилиндр, высота которого равна 7 см, а площадь осевого сечения – 84 см2. В цилиндр вписана треугольная призма. Основание призмы – прямоугольный треугольник с разностью катетов 7 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Для решения задачи начнем с нахождения радиуса основания цилиндра, а затем определим размеры треугольной призмы и, нако...

Площадь осевого сечения цилиндра равна площади круга, которая вычисляется по формуле:

$$S = \pi r^2$$

где $S$ — площадь, $r$ — радиус. Из условия задачи известно, что площадь осевого сечения равна 84 см². Подставим это значение в формулу:

$$\pi r^2 = 84$$

Решим это уравнение для $r^2$:

$$r^2 = \frac{84}{\pi}$$

Теперь вычислим $r$:

$$r = \sqrt{\frac{84}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{84}{3.14}} \approx \sqrt{26.78} \approx 5.18 \text{ см}$$

Основание призмы — прямоугольный треугольник с разностью катетов 7 см. Обозначим катеты как $a$ и $b$, где $a b$. Тогда:

$$a - b = 7$$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$$S = \frac{1}{2}ab$$

Площадь основания призмы должна быть меньше или равна площади основания цилиндра. Площадь основания цилиндра равна:

$$S_{цил} = \pi r^2 = 84 \text{ см}^2$$

Таким образом, у нас есть неравенство:

$$\frac{1}{2}ab \leq 84$$

Подставим $a = b + 7$ в формулу площади:

$$\frac{1}{2}(b + 7)b \leq 84$$

Умножим обе стороны на 2:

$$(b + 7)b \leq 168$$

Раскроем скобки:

$$b^2 + 7b - 168 \leq 0$$

Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения:

$$b^2 + 7b - 168 = 0$$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168)}}{2 \cdot 1}$$

$$b = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 672}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{721}}{2}$$

Приблизительно:

$$\sqrt{721} \approx 26.851$$

Теперь подставим это значение:

$$b = \frac{-7 \pm 26.851}{2}$$

Рассмотрим только положительное значение:

$$b \approx \frac{19.851}{2} \approx 9.9255 \text{ см}$$

Теперь найдем $a$:

$$a = b + 7 \approx 9.9255 + 7 \approx 16.9255 \text{ см}$$

Площадь полной поверхности треугольной призмы вычисляется по формуле:

$$S{основания} + S_{боковая}$$

Где $S{боковая} = P{основания}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Сначала найдем площадь основания:

$$S_{основания} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 9.9255 \cdot 16.9255 \approx 84 \text{ см}^2$$

Теперь найдем периметр основания:

$$P_{основания} = a + b + c$$

Где $c$ — гипотенуза, которая вычисляется по теореме Пифагора:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} \approx \sqrt{(16.9255)^2 + (9.9255)^2} \approx \sqrt{286.5 + 98.5} \approx \sqrt{385} \approx 19.62 \text{ см}$$

Теперь найдем периметр:

$$P_{основания} \approx 16.9255 + 9.9255 + 19.62 \approx 46.47 \text{ см}$$

Теперь найдем боковую площадь:

$$S{основания} \cdot h = 46.47 \cdot 7 \approx 325.29 \text{ см}^2$$

Теперь подставим все значения в формулу для площади полной поверхности:

$$S_{призмы} = 2 \cdot 84 + 325.29 \approx 168 + 325.29 \approx 493.29 \text{ см}^2$$

Площадь полной поверхности призмы составляет примерно $493.29 \text{ см}^2$.