Задан единичный куб (см. рис. 1). Найдите: а) вектор, равный , начало и конец которого являются вершинами данного куба; б) ; в) . а) Изобразите 3 некомпланарных вектора, начала и концы которых лежат в вершинах этого куба; б) выразите вектор через эти три

Добавлена: 29.04.2026
Обновлена: 29.04.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задан единичный куб (см. рис. 1). Найдите: а) вектор, равный , начало и конец которого являются вершинами данного куба; б) ; в) . а) Изобразите 3 некомпланарных вектора, начала и концы которых лежат в вершинах этого куба; б) выразите вектор через эти три

Условие:

Задан единичный куб (см. рис. 1). Найдите: а) вектор, равный $\overrightarrow{A B}-\frac{1}{2} \overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D D_{1}}+\overrightarrow{C_{1} O_{1}}$ , начало и конец которого являются вершинами данного куба; б) $\left|\overrightarrow{C C_{1}}-\overrightarrow{O_{1} C_{1}}+\overrightarrow{O_{1} O}\right|$ ; в) $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C_{1}}$ .

а) Изобразите 3 некомпланарных вектора, начала и концы которых лежат в вершинах этого куба; б) выразите вектор $\overrightarrow{B O_{1}}$ через эти три некомпланарных вектора.

Рис. 1

Решение:

Предположим, что куб стандартный, с координатами вершин:\nA(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0),\nA₁(0,0,1), B₁(1,0,1), C₁(1,1,1), D₁(0,1,1).\nO - центр нижнего основания ABCD, O₁ - центр верхнего основания A₁B₁C₁D₁.
Тогда O(0.5, 0.5, 0), O₁(0.5, 0.5, 1).

Задание
1.

а) Найти вектор, равный AB − (1/2)DB + DD₁ + C₁O₁, начало и конец которого - вершины куба.

Сначала найдём координаты каждого вектора в сумме.
\nAB = B - A = (1,0,0) - (0,0,0) = (1,0,0)\nDB = B - D = (1,0,0) - (0,1,0) = (1,-1,0)
(1/2)DB = (0.5, -0.5, 0)\nDD₁ = D₁ - D...