Для решения задачи воспользуемся законом Амдала, который описывает, как ускорение вычислений зависит от доли параллельной и последовательной частей программы.
Шаг ...
Дано:
- Доля последовательной части программы \( f = 0.65 \)
- Доля параллельной части программы \( p = 1 - f = 0.35 \)
- Число процессоров \( N \) варьируется от 2 до 8192 с шагом \( 2^n \), где \( n = 1, 2, \ldots, 8 \).
По закону Амдала, ускорение \( S(N) \) при использовании \( N \) процессоров рассчитывается по формуле:
\[
S(N) = \frac{1}{f + \frac{p}{N}} = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{N}}
\]
Теперь мы будем вычислять ускорение для каждого значения \( N \) от 2 до 8192.
1. :
\[
S(2) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{2}} = \frac{1}{0.65 + 0.175} = \frac{1}{0.825} \approx 1.212
\]
2. :
\[
S(4) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{4}} = \frac{1}{0.65 + 0.0875} = \frac{1}{0.7375} \approx 1.356
\]
3. :
\[
S(8) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{8}} = \frac{1}{0.65 + 0.04375} = \frac{1}{0.69375} \approx 1.44
\]
4. :
\[
S(16) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{16}} = \frac{1}{0.65 + 0.021875} = \frac{1}{0.671875} \approx 1.486
\]
5. :
\[
S(32) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{32}} = \frac{1}{0.65 + 0.0109375} = \frac{1}{0.6609375} \approx 1.512
\]
6. :
\[
S(64) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{64}} = \frac{1}{0.65 + 0.00546875} = \frac{1}{0.65546875} \approx 1.527
\]
7. :
\[
S(128) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{128}} = \frac{1}{0.65 + 0.002734375} = \frac{1}{0.652734375} \approx 1.529
\]
8. :
\[
S(256) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{256}} = \frac{1}{0.65 + 0.0013671875} = \frac{1}{0.6513671875} \approx 1.537
\]
9. :
\[
S(512) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{512}} = \frac{1}{0.65 + 0.00067138671875} = \frac{1}{0.65067138671875} \approx 1.537
\]
10. :
\[
S(1024) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{1024}} = \frac{1}{0.65 + 0.000335693359375} = \frac{1}{0.650335693359375} \approx 1.538
\]
11. :
\[
S(2048) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{2048}} = \frac{1}{0.65 + 0.0001678466796875} = \frac{1}{0.6501678466796875} \approx 1.538
\]
12. :
\[
S(4096) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{4096}} = \frac{1}{0.65 + 0.00008392333984375} = \frac{1}{0.65008392333984375} \approx 1.538
\]
13. :
\[
S(8192) = \frac{1}{0.65 + \frac{0.35}{8192}} = \frac{1}{0.65 + 0.000041961669921875} = \frac{1}{0.650041961669921875} \approx 1.538
\]
Минимальное число процессоров, при котором ускорение становится значительным, можно считать \( N = 2 \), так как при увеличении числа процессоров ускорение не растет значительно после \( N = 64 \).
Степень ускорения: \( S(8192) \approx 1.538 \)
Минимальное число процессоров: \( 2 \)
