В пунктах (a) и (b) докажите сформулированные утверждения. В пунктах (c) и (d) приведите контрпримеры, опровергающие эти утверждения. (a) A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ⋂ B). (b) A ⋂ (B ⊕ C) = (A ⋂ B) ⊕ (A ⋂ C). (c) (A ⋂ B) ⊕ (C ⋂ D) ⊆ (A ⊕ C) ⋂ (B ⊕ D). (d) (A ∪

Для решения этих задач вспомним определение симметрической разности двух множеств: $A \oplus B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$. Также полезно помнить, что $A \setminus B = A \cap \overline{B}$, где $\overline{B}$ — дополнение множества $B$.

(a) Доказать: $A \oplus B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$

Доказательство: Выразим правую часть через операции объединения и пересечения:

1. $(A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \cup B) \cap \overline{(A \cap B)}$
2. По закону де Моргана $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$.
3. Применим дистрибутивный закон: $(A \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{B}) = (A \cap \overline{A}) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A}) \cup (B \cap \overline{B})$...