Катер движется по течению реки в течение времени t = 57 мин. Известно, что скорость катера в стоячей воде составляет v = 15 км/ч, а скорость течения реки – u = 5км/ч. 1. Рассчитайте, какое расстояние s пройдёт катер. 2. Рассчитайте абсолютную погрешность

Для решения задачи выполним шаги по порядку.

Шаг 1: Рассчитаем расстояни...

Сначала найдем скорость катера относительно берега. Она равна сумме скорости катера в стоячей воде и скорости течения реки:

$$v_{реки} = v + u = 15 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$$

Теперь, чтобы найти расстояние, пройденное катером за время $t$, переведем время из минут в часы:

$$t = 57 \text{ мин} = \frac{57}{60} \text{ ч} = 0.95 \text{ ч}$$

Теперь можем рассчитать расстояние:

$$s = v_{реки} \cdot t = 20 \text{ км/ч} \cdot 0.95 \text{ ч} = 19 \text{ км}$$

Теперь найдем абсолютные погрешности для времени и скорости.

1. Погрешность времени $Δt = 1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч} \approx 0.01667 \text{ ч}$
2. Погрешность скорости течения $Δu = 1 \text{ км/ч}$

Теперь найдем погрешность скорости катера относительно берега. Поскольку скорость катера в стоячей воде известна точно, погрешность будет только от скорости течения:

$$Δv_{реки} = Δu = 1 \text{ км/ч}$$

Теперь рассчитаем погрешность расстояния $Δs$ с использованием формулы для погрешности произведения:

Δs = s \cdot \sqrt{\left(\frac{Δv{реки}}\right)^2 + \left(\frac{Δt}{t}\right)^2}

Подставим значения:

1. $s = 19 \text{ км}$
2. $v_{реки} = 20 \text{ км/ч}$
3. $t = 0.95 \text{ ч}$

Теперь подставим в формулу:

$$Δs = 19 \cdot \sqrt{\left(\frac{1}{20}\right)^2 + \left(\frac{0.01667}{0.95}\right)^2}$$

Сначала вычислим каждую часть:

$$\frac{1}{20} = 0.05$$

$$\frac{0.01667}{0.95} \approx 0.01755$$

Теперь подставим в формулу:

$$Δs = 19 \cdot \sqrt{(0.05)^2 + (0.01755)^2}$$

$$= 19 \cdot \sqrt{0.0025 + 0.000308}$$

$$= 19 \cdot \sqrt{0.002808}$$

$$\approx 19 \cdot 0.0529 \approx 1.01 \text{ км}$$

Теперь у нас есть расстояние $s = 19 \text{ км}$ и погрешность $Δs \approx 1.01 \text{ км}$.

Таким образом, расстояние, которое может пройти катер, будет в пределах:

$$s - Δs \text{ до } s + Δs$$

$$19 - 1.01 \text{ до } 19 + 1.01$$

$$17.99 \text{ км до } 20.01 \text{ км}$$

Поскольку нижняя граница (17.99 км) больше 18 км, мы можем утверждать, что катер преодолеет расстояние в 18 км.

1. Расстояние, которое пройдет катер: .
2. Абсолютная погрешность расстояния: .
3. Да, с учетом погрешностей можно утверждать, что катер преодолеет расстояние в 18 км.