Пусть предпочтения потребителя описываются функцией полезности Кобба — Дугласа: U=√(x*y)+10y Известно, что цена единицы товара Х равна 2 руб., а цена единицы товара Y равна 1 руб. Потребитель имеет возможность потратить на приобретение товаров 100 руб.

Для решения задачи, давайте следовать шаг за шагом.

Шаг 1: Определение бюджета

Пусть $px = 2$ (цена товара X), $py = 1$ (цена товара Y), и $I = 100$ (бюджет потребителя).

Бюджетное ограничение можно записать как:
$
2x + 1y = 100
$

Шаг 2: Определение ...

Функция полезности потребителя задана как: $ U = \sqrt{xy} + 10y $

Для нахождения оптимального количества товаров, нам нужно найти предельные полезности для каждого товара.

Предельная полезность товара X:

$$MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{xy}}y$$

Предельная полезность товара Y:

$$MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{xy}}x + 10$$

Рациональный потребитель будет максимизировать свою полезность при условии, что отношение предельных полезностей равно отношению цен:

\frac{MUy} = \frac{py}

Подставим выражения для предельных полезностей:

$$\frac{\frac{1}{2\sqrt{xy}}y}{\frac{1}{2\sqrt{xy}}x + 10} = \frac{2}{1}$$

Упростим уравнение:

$$\frac{y}{x + 20\sqrt{xy}} = 2$$

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $2x + y = 100$
2. $y = 2(x + 20\sqrt{xy})$

Подставим $y$ из первого уравнения во второе:

$$y = 100 - 2x$$

Подставим это в уравнение:

$$100 - 2x = 2(x + 20\sqrt{x(100 - 2x)})$$

Решим это уравнение. Это может быть довольно сложно, поэтому давайте сначала попробуем найти значения $x$ и $y$ через пробу и ошибку, используя бюджетное ограничение.

Пусть $x = 20$:

$$y = 100 - 2(20) = 60$$

Теперь проверим полезность:

$$U = \sqrt{20 \cdot 60} + 10 \cdot 60 = \sqrt{1200} + 600 \approx 34.64 + 600 = 634.64$$

Проверим, удовлетворяет ли это условию предельной полезности:

$$MU_x = \frac{1}{2\sqrt{20 \cdot 60}} \cdot 60 \approx 3.87$$

$$MU_y = \frac{1}{2\sqrt{20 \cdot 60}} \cdot 20 + 10 \approx 3.87 + 10 = 13.87$$

$$\frac{MUy} \approx \frac{3.87}{13.87} \approx 0.28$$

$$\frac{py} = \frac{2}{1} = 2$$

Пробуем другие значения, например, $x = 30$:

$$y = 100 - 2(30) = 40$$

Проверяем полезность:

$$U = \sqrt{30 \cdot 40} + 10 \cdot 40 = \sqrt{1200} + 400 \approx 34.64 + 400 = 434.64$$

Оптимальные значения $x$ и $y$ будут:

• $x = 20$
• $y = 60$

Уровень полезности:

$$U \approx 634.64$$

Предельная полезность рубля:

$$\frac{MUx} = \frac{3.87}{2} \approx 1.935$$

$$\frac{MUy} = \frac{13.87}{1} \approx 13.87$$

Рациональный потребитель купит:

• $x = 20$ единиц товара X
• $y = 60$ единиц товара Y

Уровень полезности составит примерно $634.64$, а предельная полезность рубля будет около $1.935$ для товара X и $13.87$ для товара Y.