В модели дуополии Курно функция рыночного спроса задана как Р = 140 – Q. Предельные издержки обеих фирм на производство товара в условиях постоянной отдачи от масштаба одинаковы и равны 20. Определите аналитически и покажите графически: 1) выпуск каждой

Для решения задачи о дуополии Курно, давайте разберем каждый пункт по порядку.

1) Выпуск каждой фирмы, отрасли в целом и рыночная цена на продукцию фирм, если они действуют самостоятельно.

Шаг 1: Определение функции спроса

Функция рыночного спроса задана как:
$ P = 140 - Q $
где $Q = q1 + q2$ — общий выпуск двух фирм.

Шаг 2: Определение предельных издержек

Предельные издержки обеих фирм равны 20.

Шаг 3: Определение прибыли каждой фирмы

Прибыль фирмы $i$ (где $i = 1, 2$) можно выразить как:
$ \pii = P \cdot qi - MC \cdot q_i $
Подставим функцию спроса:
$ \pii = (1...i - 20 \cdot q_i $ $ \pi1 + qi - 20 \cdot q_i $

Для нахождения равновесия в модели Курно, необходимо взять производную прибыли по $q_i$ и приравнять к нулю:

$$\frac{\partial \pi1} = 140 - q2 - 20 = 0$$

$$\frac{\partial \pi2} = 140 - q2 - 20 = 0$$

Из уравнений реакции получаем:

$$q2$$

$$q1$$

Подставим одно уравнение в другое:

$$q1)$$

$$q2 = 120$$

Таким образом, $q2 = 40$.

Теперь найдем рыночную цену:

$$Q = q2 = 40 + 40 = 80$$

$$P = 140 - Q = 140 - 80 = 60$$

• Выпуск каждой фирмы: $q2 = 40$
• Общий выпуск: $Q = 80$
• Рыночная цена: $P = 60$

Если фирмы договариваются, они могут действовать как монополист, максимизируя общую прибыль.

Общая прибыль будет:

$$\pi = (P - MC) \cdot Q$$

$$\pi = (140 - Q - 20) \cdot Q$$

$$\pi = (120 - Q) \cdot Q$$

Для максимизации прибыли найдем производную и приравняем к нулю:

$$\frac{d\pi}{dQ} = 120 - 2Q = 0$$

$$2Q = 120$$

$$Q = 60$$

Теперь найдем цену:

$$P = 140 - Q = 140 - 60 = 80$$

Каждая фирма будет производить:

$$q2 = \frac{Q}{2} = \frac{60}{2} = 30$$

• Выпуск каждой фирмы: $q2 = 30$
• Общий выпуск: $Q = 60$
• Рыночная цена: $P = 80$

В условиях свободной конкуренции фирмы будут производить до тех пор, пока цена не станет равной предельным издержкам.

При равновесии:

$$P = MC = 20$$

Подставим в функцию спроса:

$$20 = 140 - Q$$

$$Q = 120$$

В условиях свободной конкуренции, если предположить, что фирмы идентичны, то общий выпуск делится поровну:

$$q2 = \frac{Q}{2} = \frac{120}{2} = 60$$

• Выпуск каждой фирмы: $q2 = 60$
• Общий выпуск: $Q = 120$
• Рыночная цена: $P = 20$

1. : На оси X - общий выпуск $Q$, на оси Y - цена $P$. Линия спроса будет убывающей, пересекающей ось Y в 140 и ось X в 140. Точки равновесия для самостоятельного действия и для картеля будут отмечены.

2. : Линия предельных издержек будет горизонтальной на уровне 20, пересекающей линию спроса в точке, где $Q = 120$.

Таким образом, мы проанализировали все три сценария и получили соответствующие результаты.