10 Определить размеры прямоугольного с отношением h / b=2 сечения балки, изогнутой в двух плоскостях. [σ]=140 M Па

Для решения задачи о определении размеров прямоугольного сечения балки, изогнутой в двух плоскостях, с заданным от...

Обозначим: - $h$ — высота сечения балки, - $b$ — ширина сечения балки, - $\sigma$ — допустимое напряжение, равное $140 \, \text{МПа} = 140 \times 10^6 \, \text{Па}$.

Согласно условию, у нас есть отношение высоты к ширине:

$$\frac{h}{b} = 2 \implies h = 2b$$

Для прямоугольного сечения момент инерции $I$ относительно нейтральной оси можно выразить как:

$$I = \frac{b h^3}{12}$$

Подставим $h = 2b$:

$$I = \frac{b (2b)^3}{12} = \frac{b \cdot 8b^3}{12} = \frac{8b^4}{12} = \frac{2b^4}{3}$$

Максимальное изгибающее напряжение в сечении балки можно выразить через изгибающий момент $M$:

$$\sigma = \frac{M \cdot c}{I}$$

где $c$ — расстояние от нейтральной оси до края сечения, равное $\frac{h}{2} = b$.

Подставим известные значения:

$$\sigma = \frac{M \cdot b}{I}$$

Подставим $I$:

$$\sigma = \frac{M \cdot b}{\frac{2b^4}{3}} = \frac{3M}{2b^3}$$

Теперь подставим значение допустимого напряжения $\sigma = 140 \times 10^6 \, \text{Па}$:

$$140 \times 10^6 = \frac{3M}{2b^3}$$

Отсюда выразим $b^3$:

$$b^3 = \frac{3M}{2 \cdot 140 \times 10^6}$$

Теперь, чтобы найти конкретные размеры, нам нужно знать значение изгибающего момента $M$. Если оно не задано, мы не можем продолжить расчет. Предположим, что $M$ задано, например, $M = 1000 \, \text{Нм}$ (это пример, вы можете подставить свое значение).

Подставим $M = 1000$:

$$b^3 = \frac{3 \cdot 1000}{2 \cdot 140 \times 10^6} = \frac{3000}{280 \times 10^6} = \frac{3}{280 \times 10^3} \approx 1.0714 \times 10^{-5}$$

Теперь найдем $b$:

$$b \approx (1.0714 \times 10^{-5})^{1/3} \approx 0.022 \, \text{м} \approx 22 \, \text{мм}$$

Теперь найдем $h$:

$$h = 2b \approx 2 \cdot 0.022 \approx 0.044 \, \text{м} \approx 44 \, \text{мм}$$

Таким образом, размеры прямоугольного сечения балки составляют:

• Ширина $b \approx 22 \, \text{мм}$
• Высота $h \approx 44 \, \text{мм}$

Если у вас есть конкретное значение изгибающего момента $M$, подставьте его в формулы для получения точных размеров.